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图像检索方法及装置

发明公布  在审
申请(专利)号:CN201811533583.9国省代码:江苏 32
申请(专利权)人:央视国际网络无锡有限公司
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摘要:
本发明公开了一种图像检索方法及装置,其中,该图像检索方法中包括:S10构建神经网络模型;S20使用训练集对神经网路模型进行第一次训练;S30从训练集中任意挑选相似的两幅图像作为输入,使用邻分量最小化方法和反向传播算法对神经网路模型进行第二次训练,将图像的特征向量分为第一级特征向量和第二级特征向量;S40将需要查询的待检索图像输入该神经网络模型,得到待检索图像的第一级特征向量和第二级特征向量;S50通过计算待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像之间的距离,在数据库中查找到与待检索图像相似的图像,大大加快了图像搜索过程中的匹配速度,同时提高了搜索的精度,不依赖技术人员的经验进行手工设计就能获得非常好的性能。

主权项:
1.一种图像检索方法,其特征在于,包括:S10构建神经网络模型,包括位于模型数据输入侧的输入层、位于模型中间的特征输出层及位于模型输出侧的模型输出层,所述神经网络模型沿位于中间的特征输出层对称设置,且输入层至特征输出层的神经元数量逐渐减少,特征输出层至模型输出层的神经元数量逐渐增加;S20使用训练集对所述神经网路模型进行第一次训练,在模型输出层恢复得到输入层输入的图像,更新各层神经网络连接的权值及从特征输出层输出得到图像的特征向量;S30从训练集中任意挑选相似的两幅图像作为输入,使用邻分量最小化方法和反向传播算法对所述神经网路模型进行第二次训练,将图像的特征向量分为第一级特征向量和第二级特征向量,其中,第一特征向量由两幅图像相同的特征组成,第二级特征向量由区别于另一图像的特征组成,完成对所述神经网路模型的训练;S40保留所述神经网络模型中输入层至特征输出层部分作为图像检索的神经网络模型,将需要查询的待检索图像输入该神经网络模型,得到待检索图像的第一级特征向量和第二级特征向量;S50通过计算待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像之间的距离,在数据库中查找到与待检索图像相似的图像。


说明书

图像检索方法及装置

技术领域

本发明涉及及计算机视觉技术领域,尤其涉及一种图像检索方法及装置。

背景技术

图像数据属于典型的非结构化数据,目前,对于数据库中图像数据的查询、检索、
相似比较等都存在一定的困难,原因在于:1)图像数据的维度较高,一般高清图像的分辨率
可达到约200万像素,超清图像的分辨率可达到800万像素;2)图像中包含的语义难以从图
像数据中直接获取,如,假定一副图像中包含一辆汽车,人在观看时很容易观察到这一图像
语义,但是计算机却很难获取,只有通过人工智能等算法才能识别图像中包含汽车这一特
定语义。

为了使图像更容易被查询、检索及比较,提取图像特征是常用的方法,如,使用
SIFT(Scale-invariant feature transform,尺度不变特征变换)算法或SURF算法(SIFT算
法的改进)来抽取图像的局部特征点,两种算法都是对特征点局部区域内像素点数值分布
的描述,如,SIFT特征的每一个特征点对应一个128位的描述向量,SURF特征每一个特征点
对应一个64位的描述向量。但是,SURF特征或SIFT特征等特征算法计算得到的特征向量维
度仍然较高,并不能满足图像快速检索方面的要求。

发明内容

针对上述现有技术的不足,本发明提供了一种图像检索方法及装置,有效解决了
现有技术中不能实现图像快速检索的技术问题。

为了实现上述目的,本发明通过以下技术方案实现:

一种图像检索方法,包括:

S10构建神经网络模型,包括位于模型数据输入侧的输入层、位于模型中间的特征
输出层及位于模型输出侧的模型输出层,所述神经网络模型沿位于中间的特征输出层对称
设置,且输入层至特征输出层的神经元数量逐渐减少,特征输出层至模型输出层的神经元
数量逐渐增加;

S20使用训练集对所述神经网路模型进行第一次训练,在模型输出层恢复得到输
入层输入的图像,更新各层神经网络连接的权值及从特征输出层输出得到图像的特征向
量;

S30从训练集中任意挑选相似的两幅图像作为输入,使用邻分量最小化方法和反
向传播算法对所述神经网路模型进行第二次训练,将图像的特征向量分为第一级特征向量
和第二级特征向量,其中,第一特征向量由两幅图像相同的特征组成,第二级特征向量由区
别于另一图像的特征组成,完成对所述神经网路模型的训练;

S40保留所述神经网络模型中输入层至特征输出层部分作为图像检索的神经网络
模型,将需要查询的待检索图像输入该神经网络模型,得到待检索图像的第一级特征向量
和第二级特征向量;

S50通过计算待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像之间的距离,在数据
库中查找到与待检索图像相似的图像。

进一步优选地,在步骤S20中,根据目标函数O对所述神经网路模型进行第一次训
练,更新各层神经网络连接的权值及从特征输出层输出得到图像的特征向量;


其中,yi为模型的输出向量,xi为输入模型的图像对应的输入向量,Q为训练集中图
像的数量。

进一步优选地,在步骤S30中,从模型输出层开始反向传播目标函数O1的梯度信息
并更新各层神经网络的权值;当反向传播至特征输出层时,叠加目标函数O2的梯度信息继
续传播;


其中,λ为权值参数,λ∈(0,1);

O2=max λONCA


其中,xi表示图像i的向量,xj表示图像j的向量,c(xi)表示图像i所属的类别,c
(xj)表示图像j所属的类别,pij表示图像i将图像j作为近邻的概率,


图像q为数据库中区别于图像i的图像,d(i,j)表示图像i和图像j第一级特征向量
之间的欧式距离,d(i,j)=d(xi,xj)=||f(xi)-f(xj)||2,f(xi)表示图像i的第一级特征向
量,f(xj)表示图像j的第一级特征向量。

进一步优选地,在步骤S50中,包括:

S51计算待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像的第一级特征向量之间的
欧式距离;

S52比较计算结果,得到数据库中与待检索图像相似的图像;

S53判断数据库中是否存在多幅与待检索图像相似的图像,若是,

S54计算待检索图像的第二级特征向量与数据库中相似图像的第二级特征向量之
间的欧式距离;

S55比较计算结果,得到数据库中与待检索图像最相似的图像。

进一步优选地,所述神经网络模型为二进制神经网络,在步骤S50中,计算第一级
特征向量与数据库中图像之间的汉明距离。

本发明还提供了一种图像检索装置,包括:

网络模型构建模块,用于构建神经网络模型,包括位于模型数据输入侧的输入层、
位于模型中间的特征输出层及位于模型输出侧的模型输出层,所述神经网络模型沿位于中
间的特征输出层对称设置,且输入层至特征输出层的神经元数量逐渐减少,特征输出层至
模型输出层的神经元数量逐渐增加;

网络模型训练模块,用于使用训练集对所述网络模型构建模块构建的神经网路模
型进行第一次训练,在模型输出层恢复得到输入层输入的图像,更新各层神经网络连接的
权值及从特征输出层输出得到图像的特征向量;及从训练集中任意挑选相似的两幅图像作
为输入,使用邻分量最小化装置和反向传播算法对所述神经网路模型进行第二次训练,将
图像的特征向量分为第一级特征向量和第二级特征向量,其中,第一特征向量由两幅图像
相同的特征组成,第二级特征向量由区别于另一图像的特征组成,完成对所述神经网路模
型的训练;

神经网络模型,用于根据输入的待检索图像输出得到待检索图像的第一级特征向
量和第二级特征向量;

检索模块,用于通过计算神经网络模型输出的待检索图像的第一级特征向量与数
据库中图像之间的距离,在数据库中查找到与待检索图像相似的图像。

进一步优选地,在网络模型训练模块中,根据目标函数O对所述神经网路模型进行
第一次训练,更新各层神经网络连接的权值及从特征输出层输出得到图像的特征向量;


其中,yi为模型的输出向量,xi为输入模型的图像对应的输入向量,Q为训练集中图
像的数量。

进一步优选地,在网络模型训练模块对所述神经网络模型进行第二次训练的过程
中,从模型输出层开始反向传播目标函数O1的梯度信息并更新各层神经网络的权值;当反
向传播至特征输出层时,叠加目标函数O2的梯度信息继续传播;


其中,λ为权值参数,λ∈(0,1);

O2=max λONCA


其中,xi表示图像i的向量,xj表示图像j的向量,c(xi)表示图像i所属的类别,c
(xj)表示图像j所属的类别,pij表示图像i将图像j作为近邻的概率,


图像q为数据库中区别于图像i的图像,d(i,j)表示图像i和图像j第一级特征向量
之间的欧式距离,d(i,j)=d(xi,xj)=||f(xi)-f(xj)||2,f(xi)表示图像i的第一级特征向
量,f(xj)表示图像j的第一级特征向量。

进一步优选地,在检索模块中,包括:

计算单元,用于计算待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像的第一级特征
向量之间的第一欧式距离;及用于数据库中是否存在多幅与待检索图像相似的图像时,进
一步计算待检索图像的第二级特征向量与数据库中相似图像的第二级特征向量之间的第
二欧式距离;

比较单元,用于比较计算单元计算得到的第一欧式距离,得到数据库中与待检索
图像相似的图像;及用于比较计算单元计算得到的第二欧式距离,得到数据库中与待检索
图像最相似的图像。

进一步优选地,所述神经网络模型为二进制神经网络,在检索模块中,计算第一级
特征向量与数据库中图像之间的汉明距离。

在本发明提供的图像检索方法及装置中,构建对称的神经网络模型并通过训练将
图像的特征向量分为第一级特征向量和第二级特征向量,第一特征向量由两幅图像相同的
特征组成,第二级特征向量由区别于另一图像的特征组成。以此,在对图像进行检索的过程
中,通过计算图像第一特征向量,或第一特征向量和第二特征向量间的距离即可找到与自
己相似的图像,大大加快了图像搜索过程中的匹配速度,同时提高了搜索的精度,不依赖技
术人员的经验进行手工设计就能获得非常好的性能。

附图说明

结合附图,并通过参考下面的详细描述,将会更容易地对本发明有更完整的理解
并且更容易地理解其伴随的优点和特征,其中:

图1为本发明中图像检索方法流程示意图;

图2为本发明中构建的神经网络模型示意图;

图3为本发明中图像检索装置结构示意图。

附图标记:

100-图像检索装置,110-网络模型构建模块,120-网络模型训练模块,130-神经网
络模型,140-检索模块。

具体实施方式

为使本发明的内容更加清楚易懂,以下结合说明书附图,对本发明的内容作进一
步说明。当然本发明并不局限于该具体实施例,本领域内的技术人员所熟知的一般替换也
涵盖在本发明的保护范围内。

如图1所示为本发明提供的图像检索方法流程示意图,从图中可以看出,在该图像
检索方法中包括:

S10构建神经网络模型,包括位于模型数据输入侧的输入层、位于模型中间的特征
输出层及位于模型输出侧的模型输出层,神经网络模型沿位于中间的特征输出层对称设
置,且输入层至特征输出层的神经元数量逐渐减少,特征输出层至模型输出层的神经元数
量逐渐增加;

S20使用训练集对神经网路模型进行第一次训练,在模型输出层恢复得到输入层
输入的图像,更新各层神经网络连接的权值及从特征输出层输出得到图像的特征向量;

S30从训练集中任意挑选相似的两幅图像作为输入,使用邻分量最小化方法和反
向传播算法对神经网路模型进行第二次训练,将图像的特征向量分为第一级特征向量和第
二级特征向量,其中,第一特征向量由两幅图像相同的特征组成,第二级特征向量由区别于
另一图像的特征组成,完成对神经网路模型的训练;

S40保留所述神经网络模型中输入层至特征输出层部分作为图像检索的神经网络
模型,将需要查询的待检索图像输入该神经网络模型,得到待检索图像的第一级特征向量
和第二级特征向量;

S50通过计算待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像之间的距离,在数据
库中查找到与待检索图像相似的图像。

如图2所示为构建的神经网络模型,包括输入层、第一隐藏层、特征输出层、第二隐
藏层及模型输出层,沿位于中间的特征输出层对称设置,即输入层与模型输出层对应,第一
隐藏层中的各层与第二隐藏层中的各层关于特征输出层对称设置,具体指各层中神经元节
点的数量相同,如,在一实例中,第一隐藏层中包括3层隐藏层,且输入层和3层隐藏层的神
经元个数依次为[3072 500 400 300],特征输出层的神经元个数为100,则对应的第二隐藏
层(同样包括3层隐藏层)和模型输出层中的神经元个数为[300 400 500 3072]。

在构建神经网络模型的过程中,首先对图像进行处理,将图像的分辨率降低至较
小的尺寸,如,将图片的分辨率降低至32x32。考虑彩色图像具有YUV(或RGB)三个分量,并使
用8bit(比特)像素编码,则32x32大小的图像由3072个[0,255]之间的整数组成。之后,将
3072维的向量除以255归一化为[0,1]之间的实数,作为输入层神经元的状态输入到神经网
络模型中,之后根据公式(1)依次计算隐藏层的神经元状态值:


其中,其中向量x表示输入层神经元的状态,表W示从输入层到第一隐藏层(包括多
层隐藏层)中的第一层的权值矩阵,b表示第一层隐藏层的偏置值,y表示第一层隐藏层的状
态。获得第一层隐藏层的状态值之后使用相同方法依次计算第一隐藏层中的第二层、第三
层、…、特征输出层、第二隐藏层及模型输出层的状态,其中,特征输出层中包含N个神经元,
其输出的N个实数即为图像的N维特征向量。要说明的是,模型中的第二隐藏层和模型输出
层仅在训练神经网络的过程中使用,训练完成后可以将第二隐藏层和模型输出层从神经网
路模型中去除,保留输入层、第一隐藏层及特征输出层对图像进行检索。

在对构建的神经网络模型进行训练的过程中,首先使用训练集对神经网路模型进
行第一次训练:

假设训练集共包含Q个图像,每个图像对应一个特定维度(如3072)的[0,1]之间的
实数向量,记为{xi},i=1,...,Q,并根据如式(2)的目标函数O对神经网路模型进行训练,
更新各层神经网络连接的权值及从特征输出层输出得到图像的特征向量;


其中,yi为模型的输出向量(对应模型输出层的输出),xi为输入模型的图像对应的
输入向量(对应输入层的输入)。

根据目标函数O可以看出,第一次训练的目的在于模型输出层的输出尽可能地与
输入层的输入相同,即在模型输出层中恢复得到输入的图像。若在一次训练中,目标函数O
被压缩至零,说明模型输出层能够输出该神经网络模型所输入的图像,也就是说特征输出
层输出的特征向量(包括N个特征)包含了该图像的所有信息。对于目标函数的选定,可以根
据实际情况选用其他的函数,只要能够达到本发明的目的即可,如,还可以选用交叉熵函数
等。

对神经网络模型进行了第一次训练之后,使用邻分量最小化方法和反向传播算法
对神经网路模型进行第二次训练,使相似的图像有尽量相同的第一级特征向量。假设训练
集中的Q个图像都有标记的类别,即{xi,c(xi)},其中,表示图像的所属类
别,并认为拥有相同标签的图像是相似的。另外,定义特征输出层中输出的N各实数的前K个
实数为第一级特征向量,记f(xi)=fk(xi),k=1,...,K。

在训练的过程中,使用反向传播算法,从模型输出层开始反向传播如式(3)的目标
函数O1的梯度信息并更新各层神经网络的权值,通过调整权值最小化目标函数O1


当反向传播至特征输出层时,叠加如式(4)和(5)的目标函数O2的梯度信息继续传
播,这一过程中,通过调整网络权值最大化λONCA(仅与特征输出层中的前K个神经元相关);

O2=max λONCA (4)


其中,λ为权值参数,确定目标函数O1和目标函数O2的叠加比例,λ∈(0,1);xi表示
图像i的向量,xj表示图像j的向量,c(xi)表示图像i所属的类别,c(xj)表示图像j所属的类
别,pij表示图像i将图像j作为近邻的概率,如式(6)所示:


其中,图像q为数据库中区别于图像i的图像,pii=0,d(i,j)表示图像i和图像j第
一级特征向量之间的欧式距离,d(i,j)=d(xi,xj)=||f(xi)-f(xj)||2,f(xi)表示图像i的
第一级特征向量,f(xj)表示图像j的第一级特征向量。

判定图像i属于类别c的概率如式(7):


以此完成对神经网络模型的训练,且在第二次训练完成后特征输出层输出的N个
实数被分为两级,其中,第一级特征向量中包含K个实数,理想情况下相似的两幅图像的K个
特征实数是相同的,在实际应用中通过计算两幅图像的第一级特征向量之间的欧式距离进
行比较;第二级特征向量中包含了N-K个实数,为图像自身的特征(区别于相似集合中其它
图像的特征)。之后,保留所述神经网络模型中输入层至特征输出层部分作为图像检索的神
经网络模型,当需要在数据库中查询到与待检索图像相同或相似的图像时,将需要查询的
待检索图像输入该神经网络模型,得到待检索图像的第一级特征向量和第二级特征向量;
之后,计算待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像的第一级特征向量之间的欧式距
离;以此根据计算结果,选定欧式距离最小的图像作为相似图像,完成对图像的检索。在实
际应用中,计算了待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像的第一级特征向量之间的
欧式距离并比较后可能得到一个数量较多的相似图像集合,此时,进一步计算待检索图像
的第二级特征向量与数据库中相似图像的第二级特征向量之间的欧式距离,通过比较即可
得到数据库中与待检索图像最相似的图像。在另一实例中,神经网络模型为二进制神经网
络,在步骤S50中,计算第一级特征向量与数据库中图像之间的汉明距离,完成数据的检索。

如图3所示为本发明提供的图像检索装置结构示意图,从图中可以看出,在该图像
检索装置100中包括:网络模型构建模块110、网络模型训练模块120、神经网络模型130及检
索模块140,其中,网络模型构建模块110用于构建神经网络模型130,包括位于模型数据输
入侧的输入层、位于模型中间的特征输出层及位于模型输出侧的模型输出层,神经网络模
型130沿位于中间的特征输出层对称设置,且输入层至特征输出层的神经元数量逐渐减少,
特征输出层至模型输出层的神经元数量逐渐增加;网络模型训练模块120用于使用训练集
对网络模型构建模块110构建的神经网路模型进行第一次训练,在模型输出层恢复得到输
入层输入的图像,更新各层神经网络连接的权值及从特征输出层输出得到图像的特征向
量;及从训练集中任意挑选相似的两幅图像作为输入,使用邻分量最小化方法和反向传播
算法对神经网路模型进行第二次训练,将图像的特征向量分为第一级特征向量和第二级特
征向量,其中,第一特征向量由两幅图像相同的特征组成,第二级特征向量由区别于另一图
像的特征组成,完成对神经网路模型的训练;神经网络模型130用于根据输入的待检索图像
输出得到待检索图像的第一级特征向量和第二级特征向量;检索模块140用于通过计算神
经网络模型130输出的待检索图像的第一级特征向量与数据库中图像之间的距离,在数据
库中查找到与待检索图像相似的图像。

如图2所示为网络模型构建模块110构建的神经网络模型130,包括输入层、第一隐
藏层、特征输出层、第二隐藏层及模型输出层,沿位于中间的特征输出层对称设置,即输入
层与模型输出层对应,第一隐藏层中的各层与第二隐藏层中的各层关于特征输出层对称设
置,具体指各层中神经元节点的数量相同,如,在一实例中,第一隐藏层中包括3层隐藏层,
且输入层和3层隐藏层的神经元个数依次为[3072 500 400 300],特征输出层的神经元个
数为100,则对应的第二隐藏层(同样包括3层隐藏层)和模型输出层中的神经元个数为[300
400 500 3072]。

网络模型构建模块110在构建神经网络模型130的过程中,首先对图像进行处理,
将图像的分辨率降低至较小的尺寸,如,将图片的分辨率降低至32x32。考虑彩色图像具有
YUV(或RGB)三个分量,并使用8bit(比特)像素编码,则32x32大小的图像由3072个[0,255]
之间的整数组成。之后,将3072维的向量除以255归一化为[0,1]之间的实数,作为输入层神
经元的状态输入到神经网络模型130中,之后根据公式(1)依次计算隐藏层的神经元状态
值:


其中,其中向量x表示输入层神经元的状态,表W示从输入层到第一隐藏层(包括多
层隐藏层)中的第一层的权值矩阵,b表示第一层隐藏层的偏置值,y表示第一层隐藏层的状
态。获得第一层隐藏层的状态值之后使用相同方法依次计算第一隐藏层中的第二层、第三
层、…、特征输出层、第二隐藏层及模型输出层的状态,其中,特征输出层中包含N个神经元,
其输出的N个实数即为图像的N维特征向量。要说明的是,模型中的第二隐藏层和模型输出
层仅在训练神经网络的过程中使用,训练完成后可以将第二隐藏层和模型输出层从神经网
路模型中去除,保留输入层、第一隐藏层及特征输出层对图像进行检索。

在使用网络模型训练模块120对构建的神经网络模型130进行训练的过程中,首先
使用训练集对神经网路模型进行第一次训练:

假设训练集共包含Q个图像,每个图像对应一个特定维度(如3072)的[0,1]之间的
实数向量,记为{xi},i=1,...,Q,并根据目标函数对神经网路模型进行
训练,更新各层神经网络连接的权值及从特征输出层输出得到图像的特征向量,其中,yi
模型的输出向量(对应模型输出层的输出),xi为输入模型的图像对应的输入向量(对应输
入层的输入)。

根据目标函数O可以看出,第一次训练的目的在于模型输出层的输出尽可能地与
输入层的输入相同,即在模型输出层中恢复得到输入的图像。若在一次训练中,目标函数O
被压缩至零,说明模型输出层能够输出该神经网络模型130所输入的图像,也就是说特征输
出层输出的特征向量(包括N个特征)包含了该图像的所有信息。对于目标函数的选定,可以
根据实际情况选用其他的函数,只要能够达到本发明的目的即可,如,还可以选用交叉熵函
数等。

对神经网络模型130进行了第一次训练之后,使用邻分量最小化方法和反向传播
算法对神经网路模型进行第二次训练,使相似的图像有尽量相同的第一级特征向量。假设
训练集中的Q个图像都有标记的类别,即{xi,c(xi)},其中,表示图像的所
属类别,并认为拥有相同标签的图像是相似的;另外,定义特征输出层中输出的N各实数的
前K个实数为第一级特征向量,记f(xi)=fk(xi),k=1,...,K。

在训练的过程中,使用反向传播算法,从模型输出层开始反向传播的目标函数
的梯度信息并更新各层神经网络的权值,通过调整权
值最小化目标函数O1;当反向传播至特征输出层时,叠加O2=max λONCA的梯度信息继续传
播,这一过程中,通过调整网络权值最大化λONCA(仅与特征输出层中的前K个神经元相关)。
具体,λ为权值参数,确定目标函数O1和目标函数O2的叠加比例,λ
∈(0,1);xi表示图像i的向量,xj表示图像j的向量,c(xi)表示图像i所属的类别,c(xj)表示
图像j所属的类别,pij表示图像i将图像j作为近邻的概率,其中,图
像q为数据库中区别于图像i的图像,pii=0,d(i,j)表示图像i和图像j第一级特征向量之间
的欧式距离,d(i,j)=d(xi,xj)=||f(xi)-f(xj)||2,f(xi)表示图像i的第一级特征向量,f
(xj)表示图像j的第一级特征向量。另外,判定图像i属于类别c的概率为


以此完成对神经网络模型130的训练,且在第二次训练完成后特征输出层输出的N
个实数被分为两级,其中,第一级特征向量中包含K个实数,理想情况下相似的两幅图像的K
个特征实数是相同的,在实际应用中通过计算两幅图像的第一级特征向量之间的欧式距离
进行比较;第二级特征向量中包含了N-K个实数,为图像自身的特征(区别于相似集合中其
它图像的特征)。之后,保留所述神经网络模型130中输入层至特征输出层部分作为图像检
索的神经网络模型130,当需要通过检索模块140在数据库中查询到与待检索图像相同或相
似的图像时,将需要查询的待检索图像输入该神经网络模型130,得到待检索图像的第一级
特征向量和第二级特征向量;之后,计算单元计算待检索图像的第一级特征向量与数据库
中图像的第一级特征向量之间的欧式距离;比较单元根据计算结果,选定欧式距离最小的
图像作为相似图像,完成对图像的检索。在实际应用中,计算了待检索图像的第一级特征向
量与数据库中图像的第一级特征向量之间的...

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